The sum of three numbers in G.P. is 56. If we subtract 1, 7, 21 from these numbers in that order

Let’s consider the three numbers in G.P. to be as a, ar, and ar².

Then from the question, we have

a + ar + ar² = 56

a (1 + r + r²) = 56

\( a=\dfrac{56}{1+r+r^2}\).........(1)

Also, given

a – 1, ar – 7, ar² – 21 forms an A.P.

So, (ar – 7) – (a – 1) = (ar² – 21) – (ar – 7)

ar – a – 6 = ar² – ar – 14

ar² – 2ar + a = 8

ar² – ar – ar + a = 8

a(r² + 1 – 2r) = 8

a (r – 1)² = 8 … (2)

\(\dfrac{56}{1+r+r^2}(r-1)^2=8\)

7(r² – 2r + 1) = 1 + r + r²

7r² – 14 r + 7 – 1 – r – r² = 0

6r² – 15r + 6 = 0

6r² – 12r – 3r + 6 = 0

6r (r – 2) – 3 (r – 2) = 0

(6r – 3) (r – 2) = 0

r = 2, \( \dfrac{1}{2}\)

When r = 2, a = 8

When r = \( \dfrac{1}{2}\), a = 32

Thus,

When r = 2, the three numbers in G.P. are 8, 16, and 32.

When r = \( \dfrac{1}{2}\), the three numbers in G.P. are 32, 16, and 8.

Therefore in either case, the required three numbers are 8, 16, and 32.