The pth, qth and rth terms of an A.P. are a, b, c respectively.

Let’s assume t and d to be the first term and the common difference of the A.P. respectively.

Then the n^th term of the A.P. is given by, a_n = t + (n – 1) d

Thus,

a_p = t + (p – 1) d = a  … (1)

a_q = t + (q – 1) d = b  … (2)

a_r = t + (r – 1) d = c  … (3)

On subtracting equation (2) from (1), we get

(p – 1 – q + 1) d = a – b

(p – q) d = a – b

\( d=\dfrac{a-b}{p-q}\)...........(4)

On subtracting equation (3) from (2), we get

(q – 1 – r + 1) d = b – c

(q – r) d = b – c

\( d=\dfrac{b-c}{q-r}\).............(5)

Equating both the values of d obtained in (4) and (5), we get

\( \dfrac{a-b}{p-q}=\dfrac{b-c}{q-r}\)

\((a - b)(q - r) = (b - c)(p - q)\)

\( aq - bq - ar+br =bp-bq-cp+cq\)

\( bp-cp+cq-aq+ar-br=0\)

By rearranging terms we get

\( (-aq+ar)+(bp-br)+(-cp+cq)=0\)

\( -a(q-r)-b(r-p)-c(p-q)=0\)

\( -a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0\)

Therefore,\( (q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0\) is proved.