Evaluate (√3 + √2)6 – (√3 – √2)6

Using binomial theorem the expression (a + b)⁶ and (a – b)⁶, can be expanded

(a + b)⁶ = ⁶C₀ a⁶ + ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² + ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ + ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶

(a – b)⁶ = ⁶C₀ a⁶ – ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² – ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ – ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶

Now (a + b)⁶ – (a – b)⁶ =⁶C₀ a⁶ + ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² + ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ + ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶ – [⁶C₀ a⁶ – ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² – ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ – ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶]

Now by substituting a = \( \sqrt{3}\) and b =\( \sqrt{2}\) we get

\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^6 -(\sqrt{3} - \sqrt{2})^6\) 

= \( 2 [6 (\sqrt{3})^5 (\sqrt{2}) + 20 (\sqrt{3})^3 (\sqrt{2})^3 + 6 (\sqrt{3}) (\sqrt{2})^5]\)

= \( 2 [54(\sqrt{6}) + 120 (\sqrt{6}) + 24 \sqrt{6}]\)

= \( 2 (\sqrt{6}) (198)\)

= \( 396 \sqrt{6}\)