Let A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 5, 7, 9}; C = {7, 23, 47, 79} and f: A → B, g: B → C be defined

Given that f (x) = 2x + 1

⇒ f= {(1, 2(1) + 1), (2, 2(2) + 1), (3, 2(3) + 1), (4, 2(4) + 1)}

= {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Also given that g(x) = x²−2

⇒ g = {(3, 3²−2), (5, 5²−2), (7, 7²−2), (9, 9²−2)}

= {(3, 7), (5, 23), (7, 47), (9, 79)}

Clearly f and g are bijections and, hence, f⁻¹: B→ A and g⁻¹: C→ B exist.

So, f⁻¹= {(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4)}

And g⁻¹= {(7, 3), (23, 5), (47, 7), (79, 9)}

Now, (f⁻¹ o g⁻¹): C→ A

f⁻¹ o g⁻¹ = {(7, 1), (23, 2), (47, 3), (79, 4)}……….(1)

Also, f: A→B and g: B → C,

⇒ gof: A → C, (gof) ⁻¹ : C→ A

So, f⁻¹ o g⁻¹and (gof)⁻¹ have same domains.

(gof) (x) = g (f (x))

=g (2x + 1)

=(2x +1 )²− 2

⇒ (gof) (x) = 4x² + 4x + 1 − 2

⇒ (gof) (x) = 4x²+ 4x −1

Then, (gof) (1) = g (f (1))

= 4 + 4 − 1

=7,

(gof) (2) = g (f (2))

= 4(2)² + 4(2) – 1 = 23,

(gof) (3) = g (f (3))

= 4(3)² + 4(3) – 1 = 47 and

(gof) (4) = g (f (4))

= 4(4)² + 4(4) − 1 = 79

So, gof = {(1, 7), (2, 23), (3, 47), (4, 79)}

⇒ (gof)^{– 1} = {(7, 1), (23, 2), (47, 3), (79, 4)}…… (2)

From (1) and (2), we get:

(gof)⁻¹ = f⁻¹o g⁻¹